Mediana

En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados

Cálculo

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

Datos sin agrupar

Sean

x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n

los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como

M_e

, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición

(n+1)/2

una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir:

M_e=x_{(n+1)/2}

.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son:

x_1 = 3

x_2 = 6

x_3 = 7

x_4 = 8

x_5 = 9

=> El valor central es el tercero:

x_{(5+1)/2} = x_3 = 7

. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (

x_1

x_2

) y otros dos por encima de él (

x_4

x_5

).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando

n

es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones

n/2

n/2+1

. Es decir:

M_e = (x_{\frac{n}{2}} + x_{{\frac{n}{2}}+1})/2

.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son:

x_1 = 3

x_2 = 6

x_3 = 7

x_4 = 8

x_5 = 9

x_6 = 10

. Aquí dos valores que están por debajo del

x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7

y otros dos que quedan por encima del siguiente dato

x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8

. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos:

M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si

{{\frac {n} {2}}}

coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})

Donde

N_{i}

N_{i-1}

son las frecuencias absolutas acumuladas tales que

N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}

a_{i-1}

a_{i}

son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y

M_e=a_{i-1}+p

es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que

a_{i} - a_{i-1}

es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

ELEMPLO

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas

N_i

. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene

X (39+1) / 2 = X 20

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2: Cantidad (N) par de datos

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Ni+w
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas

N_i

. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene la siguiente fórmula:

X = n/2 ==> X =(38 / 2) => X =19

(Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).

Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más

Ejemplo para datos agrupados

Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.

Mediana= 1.60 + \left( \frac{(10/2)-2}{5} \right)0.1=1.66

Estadistica

viernes, 26 de junio de 2015

2.2 Mediana